Czym jest paradoks Monty’ego Halla?
Paradoks Monty’ego Halla to klasyczny problem z zakresu teorii prawdopodobieństwa, który na pierwszy rzut oka wydaje się sprzeczny z intuicją. Pochodzi od amerykańskiego teleturnieju „Let’s Make a Deal”, którego gospodarzem był właśnie Monty Hall. W grze tej uczestnik miał szansę wygrać atrakcyjną nagrodę — np. samochód — ukrytą za jednymi z trzech drzwi. Za pozostałymi drzwiami znajdowały się tzw. „zonki” (czyli coś bezwartościowego, np. koza).
Jak wygląda scenariusz?
1. Gracz staje przed trzema drzwiami. Za jednymi z nich jest samochód, za dwoma innymi — kozy.
2. Wybiera jedne drzwi, ale nie są one jeszcze otwierane.
3. Prowadzący, który zna zawartość wszystkich drzwi, otwiera jedne z pozostałych dwóch, pokazując kozę.
4. Gracz ma teraz wybór: zostać przy pierwotnym wyborze, albo zmienić i wybrać drugie nieotwarte drzwi.
5. Pytanie brzmi: czy powinien zmienić swój wybór, czy pozostać przy pierwotnym?
Intuicja kontra matematyka
Wielu ludzi myśli, że po otwarciu jednych z pozostałych drzwi z kozą, szansa na wygraną rozkłada się po równo: 50/50. Jednak to błąd poznawczy — i właśnie w tym tkwi paradoks!
Rzeczywiste prawdopodobieństwo
-
Gdy gracz wybiera po raz pierwszy, szansa na trafienie samochodu wynosi 1/3.
-
Szansa, że samochód jest za jednymi z pozostałych dwóch drzwi, to 2/3.
-
Gdy prowadzący usuwa jedne z tych dwóch drzwi z kozą, całe te 2/3 przenosi się na pozostałe zamknięte drzwi.
-
Zatem zmiana wyboru zwiększa szansę na wygraną do 2/3, a pozostanie przy pierwotnym wyborze zostawia tylko 1/3 szans.
Prosty przykład symulacyjny
Wyobraź sobie, że grasz w tę grę 100 razy:
-
Jeśli zawsze zostajesz przy swoim wyborze — wygrywasz około 33 razy.
-
Jeśli zawsze zmieniasz wybór — wygrywasz około 66 razy.
To zostało wielokrotnie potwierdzone przez symulacje komputerowe i eksperymenty.
Dlaczego to działa?
Klucz leży w tym, że prowadzący nigdy nie otwiera drzwi z samochodem i zawsze eliminuje z gry jedną kozę. To zmienia rozkład prawdopodobieństwa w grze i sprawia, że zmiana decyzji jest statystycznie korzystniejsza.
Polski odpowiednik — „Idź na całość”
W Polsce odpowiednikiem amerykańskiego teleturnieju „Let’s Make a Deal”, z którego wywodzi się paradoks Monty’ego Halla, był popularny program „Idź na całość”, emitowany w latach 90. na antenie Polsatu. Gospodarzem był Zygmunt Chajzer, a charakterystycznym elementem była postać Zonk’a — fikcyjnej, zabawnej nagrody, którą gracze otrzymywali zamiast wartościowych przedmiotów.
Uczestnicy programu także stawali przed wyborem między kilkoma zasłonami lub pudełkami, nie wiedząc, co się za nimi kryje. Choć zasady gry nie zawsze były identyczne jak w wersji amerykańskiej, mechanizm zaskoczenia, presji decyzji i ryzyka utraty nagrody był bardzo podobny. To sprawia, że paradoks Monty’ego Halla można z łatwością przełożyć na realia znane wielu polskim widzom.
Co ciekawe — wielu uczestników „Idź na całość” również ulegało iluzji równego prawdopodobieństwa i rzadko korzystali z opcji zmiany decyzji, gdy była taka możliwość. A jak pokazuje matematyka — szkoda!
Pozorne utrudnienie, które działa na naszą korzyść
Spróbujmy spojrzeć na tę grę z innej perspektywy — takiej, w której prowadzący próbuje nas zmylić i nie chce, żebyśmy wygrali. To wydaje się bardzo intuicyjne: gracz wybiera jedne drzwi, a Monty, znając odpowiedź, otwiera inne drzwi z kozą, jakby chciał nas wprowadzić w błąd, kusić i odciągnąć od pierwotnego wyboru.
Ale tu właśnie tkwi paradoks — ta „przeszkoda” w rzeczywistości działa na naszą korzyść. Dlaczego?
Gra bez możliwości zmiany
Jeśli nie mielibyśmy możliwości zmiany wyboru, nasze szanse na wygraną wynoszą tylko 1/3 — bo przecież tylko jeden z trzech zestawów drzwi skrywa samochód. Dwa razy na trzy wybralibyśmy drzwi z kozą i przegrali.
A teraz — gra z możliwością zmiany
Jeśli wybierzemy źle (czyli w 2 na 3 przypadki), prowadzący nigdy nie otworzy tych drugich złych drzwi — bo zna ich zawartość. Zawsze pokaże tę drugą kozę, pozostawiając jedynie właściwe drzwi (z samochodem) jako alternatywę.
A więc: jeśli na początku popełnimy błąd, to gra została tak ułożona, że możemy go naprawić. Prowadzący niejako odsłania nam trop do wygranej, a my możemy ten trop wykorzystać, jeśli zdecydujemy się zmienić wybór.
Wniosek
Choć Monty wygląda na przeciwnika, jego działanie — paradoksalnie — zwiększa nasze szanse. Dzięki zasadom gry, które wymuszają na nim pokazanie jednej z koź, grający dostaje drugą szansę. Wystarczy ją wykorzystać i zaufać statystyce, nie intuicji.
Podsumowanie
Paradoks Monty’ego Halla uczy nas, że nasza intuicja często zawodzi, jeśli chodzi o prawdopodobieństwo. Choć może się wydawać, że po usunięciu jednych drzwi wszystko się wyrównuje, to w rzeczywistości zmiana wyboru daje dwukrotnie większą szansę na sukces.
To nie tylko ciekawostka matematyczna, ale także świetna lekcja z myślenia logicznego i podejmowania decyzji w warunkach niepewności.